Найти НОД и НОК пары чисел 100000000000000 и 200000000000000

Найдем НОД и НОК чисел 100000000000000 и 200000000000000

Условие задачи

Дано: два числа 100000000000000 и 200000000000000.

Найти: НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) этих чисел.

Нахождение НОД чисел 100000000000000 и 200000000000000

Что такое НОД?

Наибольший общий делитель (НОД) целых чисел 100000000000000 и 200000000000000 — это наибольшее натуральное число, на которое оба числа делятся без остатка.

Алгоритм нахождения НОД методом разложения на простые множители

1. Разложить число 100000000000000 на простые множители
2. Разложить число 200000000000000 на простые множители
3. Выбрать общие множители из обоих разложений
4. Перемножить выбранные множители

Пошаговое решение

Шаг 1. Разложим число 100000000000000 на простые множители:

100000000000000	2
50000000000000	2
25000000000000	2
12500000000000	2
6250000000000	2
3125000000000	2
1562500000000	2
781250000000	2
390625000000	2
195312500000	2
97656250000	2
48828125000	2
24414062500	2
12207031250	2
6103515625	5
1220703125	5
244140625	5
48828125	5
9765625	5
1953125	5
390625	5
78125	5
15625	5
3125	5
625	5
125	5
25	5
5	5
1

100000000000000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Шаг 2. Разложим число 200000000000000 на простые множители:

200000000000000	2
100000000000000	2
50000000000000	2
25000000000000	2
12500000000000	2
6250000000000	2
3125000000000	2
1562500000000	2
781250000000	2
390625000000	2
195312500000	2
97656250000	2
48828125000	2
24414062500	2
12207031250	2
6103515625	5
1220703125	5
244140625	5
48828125	5
9765625	5
1953125	5
390625	5
78125	5
15625	5
3125	5
625	5
125	5
25	5
5	5
1

200000000000000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Шаг 3. Выберем общие множители, присутствующие в обоих разложениях: 2, 5

Шаг 4. Перемножим общие множители:

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 100000000000000

Нахождение НОК чисел 100000000000000 и 200000000000000

Что такое НОК?

Наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел 100000000000000 и 200000000000000 — это наименьшее натуральное число, которое делится на 100000000000000 и на 200000000000000 без остатка.

Алгоритм нахождения НОК методом разложения на простые множители

1. Разложить оба числа на простые множители
2. Взять все множители из первого числа
3. Добавить недостающие множители из второго числа
4. Перемножить все выбранные множители

Пошаговое решение

Шаг 1. Используем разложения на простые множители из предыдущего решения:

100000000000000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

200000000000000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Шаг 2. Берем все множители из первого числа: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Шаг 3. Добавляем недостающие множители из второго числа: 2

Шаг 4. Перемножаем все выбранные множители:

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 2 = 2.0E+14

Проверка результатов

Проверка НОД:

100000000000000 : 100000000000000 = 1 (делится без остатка ✓)

200000000000000 : 100000000000000 = 2 (делится без остатка ✓)

Проверка НОК:

2.0E+14 : 100000000000000 = 2 (делится без остатка ✓)

2.0E+14 : 200000000000000 = 1 (делится без остатка ✓)

Полезная формула

Существует важная связь между НОД и НОК двух чисел:

НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b

Проверим: 100000000000000 × 2.0E+14 = 2.0E+28

100000000000000 × 200000000000000 = 2.0E+28

Формула выполняется ✓

Онлайн калькулятор НОД и НОК

Хотите быстро найти НОД и НОК других чисел? Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн калькулятором:

→ Калькулятор НОД и НОК онлайн

Калькулятор мгновенно вычислит наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное любых чисел с подробным решением.